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問4

a^3-b^3=217 を満たす整数の組(a,b)を全て求めよ.

泥臭いコーディングに疲れたので,気分転換に遊んでみた*1.やっぱり紙に文字を書いていくときの微妙な感触がいいなぁ.
ちなみに Mathematica 使ってもそれはそれで一発のようで.

Reduce[ a^3 - b^3 == 217, {a,b}, Integers ]

ついでに Mathematica の Reduce についてヘルプを読んでいると,以下のような一文を発見.

Reduce[expr, vars, Integers]は整数についてディオファントス(Diophantus)方程式を簡約する.

さらに「ディオファントス方程式」で検索.

なお,1970 年,ロシア人のマチアセビッチにより,すべてのディオファントス方程式(不定方程式)の解の存否を判定するアルゴリズムが存在しないことが証明されています.一般に 3 変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず,たとえば,x^3+y^3+z^3-3=0 が (1,1,1), (4,4,-5) とその並び換え以外の整数解をもつかどうかすらわかっていません.

*1:解答欲しい人はこの辺でもどうぞ